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Mathematics / 数学

四岁的孩子学习数学概念的能力更强。他们应用逻辑推理来解决日常问题，能够有效地用语言来比较和描述物体和形状。他们能够数到“十”，认得数字“0”到“9”，会用“四”以内的数字作加减法。四岁的孩子知道圆形、正方形、三角形、和长方形的一些变化。他们知道星期、月份、和季节，但还看不懂时间。

• 四岁大的时候，有些孩子可能仍在理解“四”以内的数字（例如把1--4件物品与“很多”区别开来；可以凭借数字对应识别四件以内的物品集合；索要“四”件以内的物品；知道年龄；可以按要求摆出“一”、“二”、“三”、或“四” 件物品）。
• 虽然有些孩子今年初还在学习如何在口头上以正确的顺序数到“五”，多数孩子能够数到“十”，且有可能更多，但不一定以正确的顺序。少数四岁的孩子能够用“十”计数模式准确地数到“二十”。今年下半年，可能还有少数孩子会用重复模式准确地数到“42”。
• 今年初，有些孩子可能仍在学习如何运用逐一计数，或称“枚举”法，来准确判定包含最多5件物品的集合中的数目（即小孩子依次用计数序列中的数字标识集合中的每件物品，从而确定该集合中的物件总数）。少数孩子可能会将同样的方法应用于10以内的集合。多数孩子认识到，用于计数（枚举）集合的最后一个数字具有特殊的意义，因为它代表集合中物品的总数。
• 大约在四岁生日的时候，多数孩子可以回应口头要求准确地数出5件以内的物品。有些孩子可能会准确地数出10件，少数孩子可能会准确地数出20件。
• 多数孩子在今年下半年能够从“一”以外的数字开始计数。有些孩子可能在今年早些时候做到这一点。
• 今年初，多数孩子能在已有计数的提示下，说出“一”至“九”之间某个数字之后的数字（例如“1、2、3、4、5接下来是什么？” ）。有些孩子还能在没有计数的提示下说出“一”至“九”之间的某个数字。还有少数孩子能够说出“10”至“40”之间某个数之后的数字。
• 今年下半年里，有些孩子能够说出“二”到“十”之间某个数字之前的数字（例如“三” 之前是什么？）。
• 今年下半年，少数孩子将能够口头上从“五”或“十”倒数，和/或按十数到“100”。
• 极少数的孩子在四岁半左右将会明白与估计相关的术语（例如“大约”、“接近”、“差不多”、“之间”、“略少于”）。
• 今年下半年，有些孩子可以面对包含最多五件物品的集合作出合理的估计，少数孩子可能面对十以内的集合做到这一点。
• 今年初，有些孩子可能仍在学习如何用度量词语“较多”和“较少”来辨别两个明显不同大小的集合。极少数的孩子能够正确地应用正规的关系术语，比如“大于”、“小于”、和“等于”。
• 今年初，有些孩子可以理解“数字渐大原则”（即计数序列中越靠后的数字越大），从而可能确定两个“十”以内的、分开较远的数字（例如“九”和“三”）哪一个“更大”。多数孩子可以在下半年正确地判定。有些四岁多的孩子甚至可能确定计数序列中分开较远的两个数字哪一个“更小”。
• 在第四年里，有些孩子可以开始运用数字渐大原则和数字后续知识来确定“五”以内的两个“相邻”的数字（例如“三”和“四”）哪一个“更大”；到下半年可以扩展到“十”以内的数字（例如“哪个数更大，‘七’还是‘八’？”）。
• 今年下半年，有些孩子将能够用一条心理数字线来确定个位数之间的相对接近（例如认识到“五”更接近“三”，而不是“九”）。
• 今年初，多数孩子能够理解和有效地应用序数词“首先”和“最后”。
• 在这一年中，少数孩子可能会开始画图形，作记录，或者用其它一些非正规的符号来表示口语中的数字。
• 极少数的孩子可能会开始用不规范的、象征性的符号（例如图形、记录等）来表示小于“九”的集合中的物品。
• 今年初，有些孩子能够认得或读出数字“0”到“9”（例如给出5个数字供选择时能够指出“三”，或者将数字“3”标识为“三”）。多数孩子将能够在今年下半年认出这些数字。有些孩子可能会临摹或复写数字“0”至“9”。这一整年里，有些孩子可能会将一些数字与数字单词及其代表的数量联系起来（例如用数字表示集合中的数量，确定写在纸面上的两个数字哪个更大，明白“0”意味着“没有”）。

• 今年上半年，多数孩子将能够在脑子里而非口头上确定 “四”以内的和与差（例如“3+1”、“4-1”、“2+1”、“3-2”）。
• 有些孩子仍然在学习如何应用从日常经验中获得的、不规范的知识，默不作声地估算“五”以内的和（例如为求解“3+2”，摆出四到六件物品来估算答案）与差（例如为求解“5-2”，摆出三件左右的物品来估算答案）。今年下半年，有些孩子将能够应用不规范的知识来估算“十”以内的和与差。
• 这一整年中，有些孩子将能够运用实物点数策略来解答“十”以内的加法问题（例如对于三加二这个问题，小孩子先数出三件物品，再数出两件物品，然后点总数得到答案）和减法问题（例如对于五减二这个问题，小孩子先数出五件物品，再拿走两件，然后清点余数得到答案）。
• 今年下半年，有些孩子能够应用多种策略在脑子里确定“九”以内的和。
• 今年下半年，有些孩子能够应用现有的知识和推理策略，符合逻辑地推断出“18”以内的加减法结果，包括“加法和减法恒等”原则（例如“n+0=n”和“n-0= n” ）、“数字依序”原则（例如“7+1”等于计数时的八）、以及倍数相加得偶数和的概念，或者以双数序列计数（例如“3+3=6”、“4+4=8”、“5+5=10”...）。
• 今年上半年，有些孩子可能仍在认识理解，如果你改变集合中某个部分的大小，那么你就改变了整个集合的大小。这一整年里，有些孩子可能会直觉地认识到，加入物件到集合中得到的总和比起始数量更大。
• 今年下半年，少数孩子在解答加法问题时会明白，部分小于整体（例如布雷特有三块饼干。他妈妈又给了他一些，现在他有五块饼干。布雷特的妈妈给了他几块饼干？）。同时在解答减法问题时会明白，整体大于组成部分（例如奇科有五块饼干。他吃掉了一些，现在他还剩下三块。奇科吃掉了几块饼干？）。
• 今年下半年，少数四岁的孩子可以用最多十件物品构成“5”以内的数字配组（例如5=“1+4”、“2+3”、“3+2”、“4+1” ）和“10”以内的倍数配组（例如“3+3=6”）。
• 今年下半年，少数孩子将会理解加法的“部分-整体”关系，能够不规范地解答总和在“10”以内的、属于“部分-部分-整体”类型的求和应用题（例如黛博拉有五块巧克力饼干和三块姜脆饼干。她总共有多少块饼干？）。
• 今年上半年，多数孩子会用几件小东西交换一件较大的物品（例如用四片小糖果换一块糖果条）。这一整年里，有些孩子会将物品分成5个或10个一组，认识到数字的位置会影响数值（例如认识到“23”和“32”是不同的）。今年下半年，有些孩子可以将较大的单元（尤其是“10”和“100”）拆分为较小的单元，将较小的单元合并为较大的单元。
• 今年下半年，少数四岁的孩子能够准确地读出直到“19”的多位数字；同时很少数的孩子甚至可以准确地读出直到“99”的多位数字。
• 今年下半年，少数四岁的孩子可能会写直到“99”的多位数字（例如把“二十四”写为“24”而不是“204”）。
• 今年下半年，可能会有少数四岁的孩子能够有目的性地、以不同的形式表示直到“100”的多位数字，比如用数字模型和分组/位置数值模型（例如认识到“27”中的“2”代表两个“十”，“7”表示七个“一”）。
• 今年下半年，少数四岁的孩子将能够应用不规范的策略来解决“平均分配/公平分享”问题，将最多“10”件物品平均地分配给二或三人（例如，如果埃斯特和弗雷哈公平地分享“12”块他们烤制的饼干，每个人各自得到多少块饼干？）。

• 今年上半年，有些孩子可能仍在学习匹配不同的形状，先是相同的尺寸和方向，然后是不同的尺寸和方向（例如用格式板和拼图匹配简单的形状，在分拣盒中排序简单的形状等）。与此同时，有些孩子可能会识别和说出圆形、正方形、三角形、和长方形的一些变化。多数孩子能够在今年下半年识别和说出这些形状。
• 今年上半年，有些四岁的孩子能够制作、复制、不规范地描述二维形状。多数孩子能够在今年下半年做到这一点。在这一年中，有些孩子还能够在花几秒钟看过某种模型以后，凭记忆复画出形状。
• 今年上半年，有些四岁的孩子可以通过匹配相同形状和大小的物体直观地认识到全等性质。多数孩子能够在今年下半年做到这一点。今年下半年里，有些四岁的孩子能够将两个相同大小和形状的物体明确界定为“全等”。
• 这一整年中，孩子们能够完成日益复杂的拼图（例如四片联锁到八或十片拼图，再到更小的15片以内的拼图），组装和拆解模型的能力不断进步（例如理解像比萨饼那样的一个整体可以被分成部分）。孩子们还会用多类物件搭建三维结构（例如矩形棱柱、立方块、和拱门）。今年下半年，有些孩子可能会画出包括两种以上几何形状的图画。
• 在前半年，有些孩子可能仍然用一种形状画图，尚未用到形状组合。另一些孩子可能用组合形状画图。到今年下半年，多数四岁的孩子能够组合不同的形状画成一张图片。这一整年中，有些孩子还可能用其它形状不留空隙地覆盖原有形状的轮廓，先用试错法，然后靠预见能力。
• 在这一年中，有些四岁的孩子能够拆开简单的、有明显拆解线索的二维形状。
• 在这一年中，有些孩子能够找出一些 “隐藏”的形状，这些形状相互重叠，但没有相互掩盖。
• 这一整年中，有些四岁的孩子将会理解和应用表达形态关系或位置的词语（例如“在上面”、“在下面”、“在旁边”、“在前面”、“在后面”、“在中间”、“在里面”、“在外面”、“上”、“下”、“顶部”、“底部”、“前”、“后”、“近”、“远”、“左”、“右”）。
• 在这一年中，多数孩子能够根据房间模型或简单的画面地图找到藏在真正房间中的某件物品。
• 今年上半年，有些四岁的孩子能够正确地判断物体的垂直或水平方向。多数孩子将能够在今年下半年做到这一点。
• 这一整年中，有些四岁的孩子会朦胧地意识到，一个二维形状被旋转、翻滚、或以其它方式移动后，就在这个方向上改变了位置。
• 今年上半年，多数孩子能够不大整齐地搭建对称的二维和三维结构。

• 今年上半年，有些四岁的孩子仍在通过向容器中装填固体或液体（例如冰块或水）来探索物品的属性。这些孩子还将发现不同大小的容器可以装得下更多或更少。
• 今年上半年，多数孩子会认识到、非正式地讨论、并发展起语言来描述各种属性，比如“大”或“小”（高度/面积/体积）、“长”和“高”或“短”（长度/高度）、“重”或“轻”（重量）、“快”或“慢”（速度）。
• 这一整年中，有些孩子仍在学习“相同”和“不同”的概念，以及如何描述物品的相同或不同之处。今年上半年，有些孩子会比较几件物品的某一项属性（例如小孩子说“她的蛋糕比我的更大。”）。多数孩子会在今年下半年作这种比较。今年上半年，有些孩子能够从小到大排序物件（例如从最矮到最高排队、把杯子按大小顺序套叠在一起等），并能够描述物品之间的关系（例如“大”、“更大”、“最大”）。多数孩子在今年下半年发展起这些技能。
• 这一整年中，有些孩子仍在通过参与日常活动来培养时间观念（例如知道一天中的基本顺序）。到今年底，孩子们应该会明白日常的时间概念如“上午”、“下午”、“晚上”、“更早”、“更晚”、“很快”；还应该能够识别与夜晚/白天和季节相关的基本概念，但仍然会混淆“昨天”、“今天”、和“明天”。今年上半年，有些孩子能够列举星期和季节，但不能看懂时间。有些这个年龄的孩子还认识到特定的时间与某些特定的事件相关联（例如喜欢的电视节目4点钟开始）。多数孩子在今年下半年理解这些事情。今年下半年里，有些孩子将培养起很强的时间观念，知道他们周围的活动什么时候发生。他们将会知道星期、月份、和季节，但仍在学习看时间。
• 今年上半年，有些孩子可能通过直接比较长度来求得答案（例如把两根棍并排看哪根更长）。多数孩子在今年下半年会这样做。
• 今年上半年，有些孩子可能通过将一件物品放到另一件物品的上面来比较面积大小。多数孩子在今年下半年会这样做。
• 这一整年中，有些四岁的孩子会做些不规范的比较和估计（例如说“我跟黄色书架一样高。”）。

• 今年上半年，有些孩子可以理解清楚说明的一系列事件（例如父母说“首先我们塞住排水口，然后放水，最后洗澡。”）。多数孩子在今年下半年表现出这种理解。此外，孩子们在今年下半年会认识到各种情况下的规律性（例如各种事件、设计、形状、号码组）。
• 这一整年中，有些孩子能够识别出简单重复图案的“核心”（即重复出现的基本序列或积木），可以通过复制核心来扩展图案（例如对于“红/蓝/红/蓝/红/蓝” 的图案，小孩子会添加“红/蓝”）。孩子们的这项技能直到六岁都在不同程度地进步。这项技能进步也体现在小孩子模仿声音和肢体动作方面（例如拍手、跺脚、拍手、跺脚......）。
• 今年下半年，少数四岁的孩子会发觉“偶数”概念（即若干物件可以由两个人平分）和“奇数”概念（即两个人平分后会剩余一件）。
• 今年下半年，极少数四岁的孩子可能会用字母来代表包含最多“三”个元素（例如用“ABC”代表“123123123...”）的重复图案的“核心”（即重复出现的基本序列或积木）。
• 这一整年中，少数四岁的孩子可能会开始用朴实的语言总结“加法恒等”（例如说“你没有加入任何东西，所以仍然是同样的”）、“减法恒等”（例如说“你没有拿走任何东西，所以仍然是同样的”）、和“减去消除”（例如说“你全拿走了，什么也没有留下。”）。今年下半年，少数孩子还可能总结出“加法交换律”（例如说“你可以按任何顺序加入数字。”）。
• 今年上半年，多数四岁的孩子可以用演绎推理（根据我们知道的符合逻辑地推断出我们不知道的结论）来解决日常问题（例如通过清点现在到场的小朋友确定出哪一个缺席）。
• 今年上半年，有些孩子会延伸应用任意规则（例如“因为我喜欢”而创建新类目）来完成大人强加的分类任务。不过这些孩子在将物品归类时会坚持某项特征（例如颜色、形状、大小）。多数孩子在今年下半年进行分类时会坚持某项特征。这一整年中，少数孩子能够根据一项或多项特征进行排序和分类（例如颜色、大小等），且能够清楚地说明为什么物品被归放到同组。
• 今年上半年，有些孩子将能够“传递性地”推理（例如，如果艾比比贝琪大，贝琪比夏琳大，那么艾比也比夏琳大）。多数孩子能够在今年下半年以这种方式推理。少数孩子能够在这一整年中按时间顺序罗列事件。

• 这一年里，有的孩子会认识到，有些问题、争议、或存在分歧的领域是“经验问题”，不先收集数据则无法回答。此外，孩子们将会努力收集相关数据用于解决问题或作重要的个人决定。
• 这一整年中，孩子们将学习组织和表述数据（例如构建半真半假的统计图表），用于解答问题（例如家里最常见的眼睛颜色是什么？）或做重要的个人决定（例如哪家冰淇淋店的口味最多？）。
• 孩子们将会发展起技能来阅读和理解包含有所需信息的统计图表或象形图表，用于解决问题、作预测、跟其他人交流、或作重要的个人决定。
• 孩子们将开始明白，有些事情比其它事情更可能发生（例如冬天比夏天更可能下雪）。他们还将开始理解和用到表达概率的词句（例如“确定”或“肯定”、“不确定”或“不肯定”、“可能”或“也许”、“不可能”或“不大会”）。

Above contents are translated from / 以上内容译自
http://www.pbs.org/parents/childdevelopmenttracker/four/mathematics.html